Laureáti Nobelovej ceny za ekonomické vedy 2003 Robert F. Engle III a Clive W. J. Granger
31. 12. 2003, preklad z www.nobelprize.org: Gabriela Dováľová
Štatistické metódy pre časové rady v ekonómii
Výskumníci používajú pri zisťovaní vzťahov, odhadovaní a testovaní hypotéz ekonomickej teórie dáta vo forme časových radov (t. z. chronologickú sekvenciu pozorovaní) jednotlivých makroekonomických premenných. Spotreba môže preto závisieť od celkového pracovného príjmu a bohatstva, reálnej úrokovej miery, vekového rozloženia obyvateľstva atď. Najjednoduchší učebnicový príklad takéhoto vzťahu je statická lineárna rovnica iba s dvomi premennými:
Podľa tejto rovnice premenná ¥t (napr. spotreba v štvrťroku t) závisí od premennej xt (napr. od príjmu v určitom časovom období). Posledná premenná, náhodná chyba et, označuje rozdiely v xt , ktoré sa nedajú vysvetliť modelom. Pomocou časových radov premenných ¥t a xt, môžu byť parametre α a ß odhadnuté použitím štatistických metód (známe ako regresná analýza). Podľa platných záverov sa predpokladá, že tieto metódy sú dobre prispôsobené špecifickým vlastnostiam časových radov. Laureáti Nobelovej ceny vyvinuli metódy, ktoré zachytávajú dve kľúčové vlastnosti časových radov: nestacionaritu a časovú volatilitu.
Nestacionarita, trendy a kointegrácia
Mnohé makroekonomické časové rady sú nestacionárne: premenná, ako napr. HDP, má dlhodobý trend, pričom dočasné poruchy ovplyvňujú jej úroveň v dlhodobom horizonte. Na rozdiel od stacionárnych časových radov, nestacionárne nevykazujú žiadnu jasnú tendenciu k návratu na konštantnú hodnotu alebo k danému trendu.
Graf 1 zobrazuje dva príklady takýchto časových radov
Plná čiara s veľkými výkyvmi v krátkych časových intervaloch predstavuje na grafe výmenný kurz medzi japonským jenom a americkým dolárom za každý mesiac od roku 1970. Prerušovaná krivka ukazuje úroveň spotrebiteľských cien v Japonsku v porovnaní s USA počas sledovaného obdobia.
Graf 1: Logaritmus indexu výmenného kurzu japonského jenu/amerického dolára a logaritmu podielu medzi indexom spotrebiteľských cien v Japonsku a v USA; mesačné pozorovania, január 1970-máj 2003
Štatistické úskalia
Napriek skutočnosti, že makroekonomické časové rady sú častokrát nestacionárne, mali výskumníci po dlhú dobu prístup iba k štandardným metódam vyvinutým pre stacionárne dáta. V roku 1974 Clive Granger spolu s kolegom Paulom Newboldom ukázali, že odhady vzťahov medzi nestacionárnymi premennými môžu priniesť nezmyselné výsledky tým, že sa chybne určia vzťahy medzi celkom nesúvisiacimi premennými. (V uvedenej rovnici vyvstáva problém v prípade, že je náhodná chyba et nestacionárna. Štandardný test môže indikovať, že je rôzna od nuly dokonca aj vtedy, keď je skutočná hodnota 0). Štatistické úskalia môžu tiež viesť k zavádzajúcim výsledkom v prípadoch, keď vzťah reálne neexistuje. Rozlišovať medzi dočasnými a stálymi vzťahmi medzi nestacionárnymi časovými radmi môže byť obzvlášť ťažké. Napr. ekonomická teória zdôrazňuje, že z dlhodobého hľadiska by mal byť silnejší kurz spojený s pomalším rastom cenovej hladiny, pretože ceny vyjadrené v spoločnej mene sa nemôžu od seba príliš odchýliť. Túto tendenciu je vidieť na grafe 1, kde jen oproti doláru v čase posilňuje, zatiaľ čo cenová hladina v USA rastie oproti cenovej hladine v Japonsku. V krátkom časovom horizonte majú očakávania a kapitálové toky taký negatívny vplyv na výmenný kurz, že štandardné metódy môžu byť pre presný odhad dlhodobého vzťahu nedostatočné. Spoločným prístupom k riešeniu problémov nestacionarity dát bolo špecifikovanie štatistických modelov ako vzťahov medzi rozdielmi, t. z. tempami rastu. Namiesto používania výmenného kurzu a relatívnej cenovej hladiny by sme odhadli vzťah medzi znehodnotením meny a relatívnou infláciou. Ak sú tempá rastu naozaj stacionárne, tradičné metódy poskytujú platné výsledky. Ale aj keby štatistický model založený iba na rozdielnych podmienkach mohol zachytiť krátkodobú dynamiku, už menej vypovedá o kovariancii premenných z dlhodobého hľadiska. Toto nie je pravdepodobne najšťastnejšie riešenie, pretože ekonomická teória je častokrát formulovaná v podmienkach úrovní, a nie rozdielov. Vzhľadom k vlastnostiam nestacionarity dát sa preto stáva výzvou nájsť také metódy, ktoré by pomohli sledovať potenciálne dlhodobé vzťahy skryté za krátkodobé fluktuácie. Práca Cliva Grangera mala preto pre štatistickú analýzu veľký význam.
Grangerov prínos
V štúdiách publikovaných v 80-tych rokoch 20. storočia Granger rozvinul koncepty a analytické metódy, ktoré kombinujú krátkodobé a dlhodobé perspektívy. Kľúčom k týmto metódam a k platnému štatistickému záveru je jeho objav, že špecifická kombinácia dvoch (alebo viacerých) nestacionárnych radov môže byť stacionárna. Ekonomická teória častokrát robí presne takéto predpoklady: ak existuje rovnováha vo vzťahu dvoch ekonomických premenných, môžu sa odchýliť od rovnováhy z krátkodobého hľadiska, ale v dlhodobom horizonte budú smerovať k equilibriu. Napríklad tradičná teória predpokladá dlhodobý rovnovážny výmenného kurz, kde cenové úrovne vyjadrené v spoločnej mene sú porovnateľné. Granger presadzoval pre kombinovanie stacionárnych a nestacionárnych premenných kointegráciu. Taktiež ukázal, že spojená dynamika medzi kointegrovanými premennými môže byť tiež vyjadrená tzv. modelom korigujúcim chyby (error-correction model). Tento model má nielen štatistický význam, ale môže byť aj vhodne ekonomicky interepretovateľný. Napríklad dynamika výmenných kurzov a cien je ovplyvnená dvoma simultánnymi faktormi: tendenciou k zmenšeniu odchýlky od dlhodobého rovnovážneho stavu výmenného kurzu a krátkodobých fluktuácií okolo smeru ciest k tejto dlhodobej rovnováhe. Koncept kointegrácie by nebol mal také úspešné praktické využitie bez presných štatistických metód pre odhadovanie a testovanie hypotéz. Clive Granger a Robert Engle predstavili takéto metódy v článku publikovanom v roku 1987. V ňom popísali testovanie hypotéz ohľadom toho, že rada nestacionárnych premenných nie je kointegrovaných, rovnako ako aj priblížili dvojstupňovú metódu odhadovania modelu korigujúceho chyby. Vylepšené metódy, ktoré sú v súčasnosti už bežným štandardom, neskôr rozvinul Søren Johansen. Granger rozšíril v spolupráci s inými výskumníkmi kointegračnú analýzu v niekoľkých aspektoch, vrátane schopnosti zvládnuť rady so sezónnosťou (sezónna kointegrácia) a rady kde nedochádza k prispôsobeniu sa rovnováhe pokiaľ odchýlka neprekročí kritickú hodnotu (prahová kointegrácia).
Aplikácie
Clive Grangerova práca predstavovala zmenu spôsobu, akým dovtedy ekonómovia pracovali s dátami časových radov. V súčasnosti sa testy stacionarity a kointegrácie vykonávajú rutinne a sú akýmsi odrazovým mostíkom k špecifikácii dynamických ekonometrických modelov. Kointegračná analýza sa ukázala byť cenná v systémoch, kedy je krátkodobá dynamika ovplyvnená veľkými náhodnými poruchami, zatiaľ čo dlhodobé zmeny sú simultánne obmedzované vzťahmi ekonomickej rovnováhy. Príkladom je vzťah medzi výmennými kurzami a cenovými hladinami. Iné príklady zahŕňajú vzťah medzi spotrebou a bohatstvom (ktoré musia byť navzájom konzistentné z dlhodobého hľadiska, hoci priebeh spotreby je z krátkodobého hľadiska oveľa hladší ako rast bohatstva), dividendami a cenami akcií (ceny akcií nasledujú vývoj dividend z dlhodobého hľadiska, ale vykazujú podstatne väčšie výkyvy z krátkodobého hľadiska) a úrokovými mierami pri rôznych dobách splatnosti (kde sú dlhodobé aj krátkodobé miery spojené očakávaniami vzhľadom na budúce krátkodobé miery, dokonca aj keď sa z krátkodobého hľadiska pohybujú rôznym smerom).
Volatitilita v čase a Arch modely
Vyhodnocovanie rizika je na finančných trhoch kľúčová aktivita. Investori hodnotia očakávanú návratnosť aktív a ich rizikovosť. Banky a iné finančné inštitúcie by radi zabezpečili, aby hodnota ich majetku neklesla pod určitú minimálnu úroveň, ktorá by mohla vystaviť banku insolventnosti. Takéto hodnotenia nemôžu byť urobené bez merania volatility výnosov aktív. Robert Engle zlepšil metódy na vykonávanie týchto druhov hodnotení.
Graf 2 ukazuje návratnosť investície pomocou NYSE burzového indexu (Standard & Poor 500) pre všetky burzové dni medzi májom 1995 a aprílom 2003. Návratnosť je v priemere 5,3 % ročne. V tomto čase boli dni, kedy bola cenová fluktuácia väčšia (plus alebo mínus) ako 5%. Smerodajná odchýlka denných výnosov meraných po celú dobu predstavovala 1,2 %. Keď sa však na to pozrieme bližšie, hoci sa volatilita v čase mení: veľké zmeny (nahor alebo nadol) častokrát nasledujú ďalšie veľké výkyvy a malé zmeny majú tendenciu byť nasledované malými výkyvmi.
Jasne je to vidieť na grafe 3, ktorý znázorňuje ako sa štandardná odchýlka meraná počas posledných štyroch týždňov menila v čase. Je zrejmé, že štandardná odchýlka sa značne menila od približne 0,5 % počas kľudných období, po takmer 3 % počas turbulentnejších období.
Mnoho finančných časových radov je charakteristických podobnou zmenou volatility v čase.
Graf 2 Percentuálna denná návratnosť investícií podľa Standard & Poor 500 burzového indexu, 16.5.1995-29.4.2003
Graf 3: Štandardná odchýlka dennej návratnosti investícií v percentách podľa Standard & Poor 500 burzového indexu, 16.5.1995-29.4.2003, vypočítané z údajov za predchádzajúce štyri týždne.
Engelov prínos
Graf 3 ukazuje spätne prepočítanú zmenu volatility v čase. Ale investori a finančné inštitúcie potrebujú výhľadové hodnotenie – prognózy – volatility počas nasledujúceho dňa, týždňa a roka. Rober Engle naformuloval vo vynikajúcom článku z roku 1982 model, ktorý umožnil takéto hodnotenia. Štatistické modely návratnosti aktív môžu vysvetliť iba zlomok zmeny z jedného dňa na druhý. Väčšina volatility je zakotvená v náhodnej chybe (et v uvedenej rovnici) – alebo inými slovami, v chybe prognózovanej modelom. Predpokladá sa, že rozptyl náhodnej chyby v štandardných štatistických modeloch je v čase konštantný.
Je zrejmé, že je to ďaleko od zachytenia veľkých rozdielov v návratnosti aktív zobrazených na grafe 3. Engle miesto toho predpokladal, že rozptyl náhodnej chyby v určitom štatistickom modeli v danom časovom období systematicky závisí na predošlej náhodnej chybe, takže veľké chyby (malé) budú nasledované veľkými chybami (malými). Z technického hľadiska zobrazuje náhodná premenná autoregresnú podmienenú heteroskedasticitu (autoregressive conditional heteroskedasticity). Jeho prístup dostal preto akronym ARCH. V tomto prípade model neobsahuje iba rovnicu na prognózu návratnosti aktív, ako aj určitý počet parametrov ukazujúcich, ako rozptyl náhodnej chyby v tejto rovnici závisí od prognózovania chýb v predchádzajúcich obdobiach. Engle ukázal, ako môžu byť odhadnuté ARCH modely a ukázal praktický test pre hypotézu, že podmienený rozptyl náhodnej chyby je konštantný. Engel rozvinul túto koncepciu v svojej ďalšej práci a pri spolupráci so študentmi a kolegami v niekoľkých smeroch.
Najznámejšie je rozšírenie všeobecného ARCH modelu (GARCH), ktorý rozvinul Tim Bollerslev v roku 1986. V ňom závisí rozptyl náhodnej chyby v určitom období nielen od predchádzajúcich chýb, ale tiež od samotného rozptylu v predchádzajúcich obdobiach. Tento postup sa zdal byť veľmi užitočný a GARCH je v súčasnosti najpoužívanejším modelom.
Aplikácie
Engle použil vo svojom prvom článku o ARCH modeli svoj model zameraný na infláciu a zmeny volatility v čase. Najdôležitejšie aplikácie boli využité vo finančnom sektore, kde sú aktivity zamerané na oceňovanie rôznych typov rizík. Modely určujúce ceny potom reprezentujú vzťah medzi cenami cenných papierov a volatilít: očakávané výnosy z konkrétnych akcií závisia na kovariancii medzi návratnosťou akcie a trhového portfólia (podľa CAPM vyvinutým Sharpom, nositeľom Nobelovej ceny z roku 1990), možnosti cien závisia od rozptylu výnosu podkladového aktíva (podľa Black-Scholes vzorca, za ktorý v roku 1997 získali Nobelovu cenu Merton a Scholes), atď. V spoločnej práci s inými výskumníkmi Engle zachytil tieto vzťahy rozvinutím modelov (GARCH-M), kde očakávané výnosy závisia od zmien volatility v čase a kovariancie, a preto sa stávajú premennou v čase. Aké sú praktické dôsledky zmeny volatility v čase? Ak je GARCH model aplikovaný na výnosy akcií v grafe 2, podmienená volatilita vyjadrená ako štandardná odchýlka kolíše medzi 0,5 a 3 % počas daného obdobia. Ak má investor portfólio zložené podľa Standard & Poor 500, akú veľkú stratu kapitálu bude na druhý deň riskovať? Vzhľadom k predpokladanej štandardnej odchýlke 0,5% strata – s 99 % pravdepodobnosťou – nepresiahne 1,2 % hodnoty portfólia. Ak je prognózovaná štandardná odchýlka 3 %, zodpovedajúca kapitálová strata bude až 6,7 %. Podobné výpočty VaR sú kľúčové pri modernej analýze rizík, keď banky a iné inštitúcie vypočítavajú trhové riziko pre svoje portfóliá cenných papierov.
Od roku 1996 medzinárodná dohoda (takzvané Bazilejské pravidlá) tiež predpisuje použitie VaR v oblasti kontroly kapitálových požiadaviek pre banky. ARCH je však nevyhnutným nástrojom pre hodnotenie rizík vo finančnom sektore.